【内容简介】1．（2020河北）边长为 的薄壁正方形容器（质量不计）放在水平桌面上，将质地均匀的实心圆柱体竖直放在容器底部，其横截面积为 ，高度为 。如图1所示。然后向容器内缓慢注入某种液体，圆柱体始终直立，圆柱体对容器底部的压力与注入液体质量的关系如图2所示。 取 （1）判断圆柱体的密度与液体密度的大小关系，并写出判断依据；（2）当圆柱体刚被浸没时，求它受到的浮力；（3）当液体对容器底部的压强与容器对桌面的压强之比为 时，求容器内液体的质量。 【分析】（1）由图2可知，当注入液体质量大于 时，圆柱体对容器底部的压力不变，说明此时圆柱体浸没在液体中，由物体的浮沉条件分析回答；（2）由题可知圆柱体的底面积和高度，从而得出圆柱体的体积，已知正方体容器的边长，可求出其底面积 ，再求出圆柱体刚好浸没时液体的体积，由图2可知，圆柱体刚好浸没时注入液体的质量为 ，根据 求出液体的密度；根据阿基米德原理求出当圆柱体刚被浸没时它受到的浮力；（3）由（2）知圆柱体刚好浸没时注入液体的质量为 ；当注入液体质量小于或等于 时，表示出容器中液体的深度，根据液体压强公式得出液体对容器底部的压强；容器对桌面的压力等于圆柱体与液体的重力之和，从而得出容器对桌面的压强，由已知条件得出液体的质量，与 比较，不符合题意，舍去；即注入液体的深度大于 ，因液体体积与圆柱体体积之和等于容器底面积乘以液体的深度，即 ，且根据 可得液体的体积 ，从而得出此时液体的深度，根据液体压强公式得出容器底部受到液体的压强；容器对桌面的压力等于圆柱体与液体的重力之和，根据压强公式得出容器对桌面的压强，由液体对容器底部的压强与容器对桌面的压强之比为 ，列方程求出液体的质量。【解析】（1）圆柱体的密度大于液体密度；依据：由图2可知，当注入液体质量大于 时，圆柱体对容器底部的压力不变，说明此时圆柱体浸没在液体中，即圆柱体沉底了，由浮沉条件可知，圆柱体的密度大于液体密度；（2）由题意知，圆柱体的底面积为： ，其高为 ，则圆柱体的体积： ；正方体容器的底面积 ；圆柱体刚好浸没时，液体的体积为： ；由图2可知，圆柱体刚好浸没时，注入液体的质量为 ，则液体的密度： ；根据阿基米德原理可得，当圆柱体刚被浸没时，它受到的浮力： ；（3）由（2）知，圆柱体刚好浸没时注入液体的质量为 ；当注入液体质量 小于或等于 时，容器内液体的深度： △ ，液体对容器底部的压强： ①，由图2可知，当没有注入液体时圆柱体对容器底的压力为 ，即圆柱体的重力为 ，则注入液体后，容器对桌面的压力为： ，容器对桌面的压强： ②，已知 ③，将①②代入③得： ，解得 ，因 ，故应舍去。当注入液体的质量大于 时，即注入液体的深度大于 ， 因液体体积与圆柱体体积之和等于容器底面积乘以液体的深度，即 ，且根据 可得液体的体积 ，所以 ，则此时液体的深度 ，此时液体对容器底部的压强： ， ④容器对桌面的压强： ⑤，已知 ，所以 ，即： ，代入数据可得： ，解得： 。答：（1）圆柱体的密度大于液体密度；依据：由图2可知，当注入液体质量大于 时，圆柱体对容器底部的压力不变，说明此时圆柱体浸没在液体中，即圆柱体沉底了，由浮沉条件可知，圆柱体的密度大于液体密度；（2）当圆柱体刚被浸没时它受到的浮力为 ；（3）当液体对容器底部的压强与容器对桌面的压强之比为 时，容器内液体的质量为 。【点评】本题考查物体的浮沉条件、阿基米德原理、密度公式、压强公式、重力公式的运用和分类讨论的能力，综合性强，难度大。